Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（1）設(shè)點(diǎn)A（1，

3

2

）是橢圓C上的點(diǎn)，且F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），試寫(xiě)出橢圓C的方程；
（2）設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為K_PM，K_PN，試探究K_PM•K_PN的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由2a=|AF₁|+|AF₂|，利用已知條件能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)KF₁的中點(diǎn)為B（x，y），則K（2x+1，2y），把K（2x+1，2y）代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，能求出線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程．
（3）k_PM，k_PN的值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，同時(shí)與直線L無(wú)關(guān)．由已知條件利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，
點(diǎn)A（1，

3

2

）是橢圓C上的點(diǎn)，且F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴2a=|AF₁|+|AF₂|=

(1+1)2+( 3 2 -0)2

+

(1-1)2+( 3 2 -0)2

=4，
∴a=2，又c=1，∴b²=4-1=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)KF₁的中點(diǎn)為B（x，y），則K（2x+1，2y），
把K（2x+1，2y）代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，
得

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1，
∴線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程是(x+

1

2

)2+

y2

3 4

=1．
（3）k_PM，k_PN的值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，同時(shí)與直線L無(wú)關(guān)．
理由如下：
∵過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交 的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
設(shè)M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y），
則k_MN=

y-y0

x-x0

，k_PN=

y+y0

x+x0

，
k_PM•k_PN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2-y02

x2-x02

，
∵M(jìn)，N，P在橢圓上，∴

x02

a2

+

y02

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1，
兩式相減，得

x2-x02

a2

+

y2-y02

b2

=0，
∴

y2-y02

x2-x02

=-

b2

a2

，∴kMN•kPN=-

b2

a2

，
∴k_PM，k_PN的值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，同時(shí)與直線L無(wú)關(guān)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查線段中點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查兩直線的斜率乘積與點(diǎn)的位置和直線方程是否有關(guān)的判斷與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法和相關(guān)點(diǎn)法的合理運(yùn)用．