Question

如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東45°角，前進(jìn)2(

3

-1)km后在B處測得該島的方位角為北偏東30⁰角，已知該島周圍3.5km范圍內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行．問該船有無觸礁危險(xiǎn)？如果沒有，請說明理由；如果有，那么該船自B處向東航行多少距離會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？

Answer 1

分析：由于該島周圍3.5km范圍內(nèi)有暗礁，故只要能使M到直線AB的距離大于3.5km，就不會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)，故需作輔助線MC（MC⊥AB），即轉(zhuǎn)化為求距離的問題．在三角形中，可知兩角及其中一角所對的邊，即可用正弦定理來解決．

解答：解：（1）作MC⊥AB，垂足為C，…（1分）
在△ABM中由已知α=45⁰，β=30⁰，
所以∠ABM=120°，∠MAB=45°，∠AMB=15°，AB=2(

3

-1)…（3分）
由正弦定理得BM=

AB•sin∠MAB

sin∠AMB

=

2( 3 -1)•sin450

sin150

=4…（7分）
在Rt△AMC中，MC=BM-sin60°=2

3

＜3.5，
所以該船有觸礁的危險(xiǎn)．                              …（9分）
（2）設(shè)該船自B向東航行至點(diǎn)D有觸礁危險(xiǎn)，則MD=3.5，…（10分）
在△MBC中，BM=4，BC=2，
MC=2

3

，CD=

3．52-(2 3 )2

=0.5，
所以BD=1.5（km）．              …（13分）
所以，該船自B向東航行1.5km會(huì)有觸礁危險(xiǎn)．         …（14分）

點(diǎn)評：本題是以實(shí)際問題為平臺(tái)考查解三角形的問題，常用正余弦定理來做，在問題中注意題目中的隱含的限定條件．