Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠DAB=60°．側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．
（1）求證：BG⊥平面PAD；
（2）求平面PBG與平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；
（3）若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)BD，由正三角形性質(zhì)的BG⊥AD，由此能證明BG⊥平面PAD．
（2）以G為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由此能求出平面PBG與平面PCD所成二面角的平面角的余弦值．
（3）當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，平面DEF⊥平面ABCD．取PC的中點(diǎn)F，連結(jié)DE，EF，DF，CG，且DE與CG相交于H，由已知條件得四邊形CDGE為平行四邊形，由此能證明平面DEF⊥平面ABCD．

解答： （本小題滿(mǎn)分14分）
（1）證明：連結(jié)BD．
因?yàn)锳BCD為棱形，且∠DAB=60°，
所以△ABD為正三角形．（1分）
又G為AD的中點(diǎn)，所以BG⊥AD．（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，（3分）
∴BG⊥平面PAD．（4分）
（2）解：∵△PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD．
∵PG?平面PAD，由（1）得：PG⊥GB．又由（1）知BG⊥AD．
∴PG、BG、AD兩兩垂直．（5分）
故以G為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系G-xyz，
PG=PDcos30°=

3

，GB=ABsin60°=

3

，（6分）
所以G（0，0，0），D（0，1，0），P(0，0，

3

)，C(

3

，2，0)，

PD

=(0，1，-

3

)，

PC

=(

3

，2，-

3

)（7分）
設(shè)平面PCD的法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

n • PD =0 n • PC =0

，即

y- 3 z=0 3 x+2y- 3 z=0

令z=1，則x=-1，y=

3

，∴

n

=(-1，

3

，1)，（8分）
又平面PBG的法向量為

AD

=（0，2，0），（9分）
設(shè)平面PBG與平面PCD所成二面角的平面角為θ，則
∴cosθ =

n • AD

| n |•| AD |

=

2 3

2 5

=

15

5

即平面PBG與平面PCD所成二面角的平面角的余弦值為

15

5

．（10分）
（3）當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，平面DEF⊥平面ABCD．（11分）
取PC的中點(diǎn)F，連結(jié)DE，EF，DF，CG，且DE與CG相交于H．
因?yàn)镋、G分別為BC、AD的中點(diǎn)，
∴四邊形CDGE為平行四邊形，
∴H為CG的中點(diǎn)．又F為CP的中點(diǎn)，∴FH∥PG．（12分）
由（2），得PG⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．（13分）
又FH?平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．