Question

【題目】已知矩形ABCD與直角梯形ABEF，∠DAF=∠FAB=90°，點G為DF的中點，AF=EF= ，P在線段CD上運動．
（1）證明：BF∥平面GAC；
（2）當P運動到CD的中點位置時，PG與PB長度之和最小，求二面角P﹣CE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD交AC于M，連MG，M為BD的中點．

∴MG為△BFD的中位線，

∴GM∥BF，而BF平面GAC，MG平面GAC，

∴BF∥平面GAC

（2）解：延遲AD至N，使DN=DG，連PN，PG，則△PDG≌△PDN，∴PG=PN

當P、B、N三點共線時，PG與PB長度之和最小，即PG與PB長度之和最小

∵P為CD中點，∴AD=DN．

在△ADF中，AD2+AF2=4DG2=4AD2，∴AD=1

AD，AB，AF兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，

∴D（0，0，1），E（ ， ，0），B（0，2 ，0），C（0，2 ，1），

∴ =（ ，﹣ ，﹣1）， =（0，0，1）， =（0，2 ，0）

設(shè) =（x，y，z）為平面PCE的一個法向量，

∴ 即 ，

令x=1，y=0，z= ， ．

同理可得平面BCE的一個法向量 =（1，1，0），

設(shè)二面角P﹣CE﹣B的大小為θ，θ為鈍角，

∴cosθ=﹣ = ，

∴求二面角P﹣CE﹣B的余弦值：﹣

【解析】（1）連接BD交AC于M，連MG，M為BD的中點，證明GM∥BF，即可證明BF∥平面GAC．（2）延遲AD至N，使DN=DG，連PN，PG，說明當P、B、N三點共線時，PG與PB長度之和最小，AD，AB，AF兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，求出平面PCE的一個法向量，平面BCE的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角P﹣CE﹣B的余弦值．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．