Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+3x2-9x ．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，c]上的最小值為-5，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）f（x）=x3+3x2-9x的定義域是R，且f '（x）=3x2+6x-9 =3(x+3)（x-1）

令f '（x）=0，得x1=-3，x2=1，

f（x）與f '（x）在（- ，+ ）上的情況如下：

x	（+ ,-3）	-3	（-3,1）	1	（1,+ ）
f '（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	27	↘	-5	↗

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（- ，-3）和（1，+ ）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，1），

（II）由f（-4）=-64+48+36=20及（I）中結(jié)論可知：

當(dāng)c≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，c]上的最小值為f（1）=1+3-9 =-5；

當(dāng)-4<c<1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，c]上的最小值大于-5，不合題意舍，

因此，c的取值范圍是[1，+ ）．

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)通過討論c的范圍，求出函數(shù)的最值從而求出c的取值范圍。
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)在上遞減，當(dāng)時(shí)，；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．