Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx有兩個不同的極值點α，β，設(shè)f（x）在點（-1，f（-1））處的切線為l₁，其斜率為k₁；在點（1，f（1））處的切線為l₂，其斜率為k₂
（1）若m=1，n=-1，當t∈（-1，1）時，求函數(shù)f（x）在x∈[t，1]上的最小值；
（2）若k1=-

1

2

，|α-β|=

10

3

，求m，n；
（3）若α，β∈（-1，1），求k₁•k₂可能取到的最大整數(shù)值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)m=1，n=-1，f′（x）=3x²+2x-1，求得原函數(shù)f（x）在x＜-1或x＞

1

3

是增函數(shù)，在-1＜x＜

1

3

時是減函數(shù)，由于t∈（-1，1）時，再分類討論即可求得f（x）的最小值．（2）求出求出函數(shù)的導函數(shù)，因為k₁=f′（-1）得到一個式子①，因為α和β為方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出|α-β|，代入到|α-β|=

10

3

中得到②，然后①②解得b和c即可；
（3）由于f'（x）=x²+2mx+n，α，β∈（-1，1），得到

f′(-1)＞0 f′(1)＞0 f′(-m)＜0

即

1+2m+n＞0 1-2m+n＞0 m 2-2m 2+n＜0

利用線性規(guī)劃的方法得到k₁k₂=（3+2m+n）（3-2m+n）取到的最大整數(shù)即可．

解答：解：（1）若m=1，n=-1，f′（x）=3x²+2x-1
此二次函數(shù)3x²+2x-1＞0時，x＜-1或x＞

1

3

，
∴原函數(shù)f（x）在x＜-1或x＞

1

3

是增函數(shù)，在-1＜x＜

1

3

時是減函數(shù)，
由于t∈（-1，1）時，
∴當t≥

1

3

時，f（x）的最小值為：f（t）=t³+t²-t，
當t＜

1

3

時，f（x）的最小值為：f（

1

3

）=-

5

27

．
（2）f′（x）=3x²+2mx+n
∵若k1=-

1

2

∴f′（-1）=-

1

2

3+2b+c=-

1

2

  ①
∵α，β是3x²+2mx+n=0的兩根，∴α+β=-

2m

3

，αβ=

n

3

．
又∵|α-β|=

10

3

，∴|α-β|2=(α+β)2-4αβ=

4b2

9

-4•

c

3

=

10

9

②
由①②得

c= 9 2 m=4=

或

c= 1 2 b=2

．
（3）∵f'（x）=x²+2mx+n，α，β∈（-1，1），
∴

f′(-1)＞0 f′(1)＞0 f′(-m)＜0

即

1+2m+n＞0 1-2m+n＞0 m 2-2m 2+n＜0

利用線性規(guī)劃的方法得到：k₁k₂=（3+2m+n）（3-2m+n）取到的最大整數(shù)值8．

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程的能力，以及會求直線的斜率．