Question

17．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（{k-1}）{x^2}-3（{k-1}）x+\frac{13k-9}{4}，x≥2}\\{{{（{\frac{1}{2}}）}^x}-1，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x＜2}\end{array}}\right.$，若f（n+1）＜f（n）對于一切n∈N₊恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． $k＜-\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}≤k＜1$
• C． $k≤-\frac{2}{5}$
• D． k＜1

Answer 1

分析 由f（n+1）＜f（n）對于一切n∈N₊恒成立，可得{f（n）}在n∈N₊為遞減數(shù)列，分別討論各段的情況，即有k＜1且f（2）＜f（1），解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：f（n+1）＜f（n）對于一切n∈N₊恒成立，
可得{f（n）}在n∈N₊為遞減數(shù)列，
當(dāng)x≥2時，對稱軸為x=$\frac{3}{2}$＜2，
即有k-1＜0，即k＜1①，
又x＜2時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得為減函數(shù)，
由單調(diào)性的定義可得f（2）＜f（1），
即為4（k-1）-6（k-1）+$\frac{13k-9}{4}$＜$\frac{1}{2}$-1，
解得k＜-$\frac{1}{5}$，②
由①②可得k＜-$\frac{1}{5}$，
故選：A．

點評 本題分段函數(shù)的運用：求參數(shù)范圍，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，注意函數(shù)和數(shù)列的區(qū)別，屬于中檔題．