Question

設(shè)b＞0，橢圓方程為，拋物線方程為x²=8（y-b）．如圖所示，過(guò)點(diǎn)F(0，b+2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F₁，
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)A，B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

解：（1）由得，
當(dāng)y=b+2得x=±4，∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，b+2)，
，
過(guò)點(diǎn)G的切線方程為y-（b+2）=x-4即y=x+b-2，
令y=0得x=2-b，
∴F₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-b，0），
由橢圓方程得F₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，0），
∴2-b=b即b=1，
即橢圓和拋物線的方程分別為和；
（2）∵過(guò)A作x軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P，
∴以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個(gè)，
同理以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個(gè)。
若以∠PAB為直角，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
由得，
關(guān)于x²的一元二次方程有一解，
∴x有二解，即以∠APB為直角的Rt△ABP有二個(gè)；
因此拋物線上共存在4個(gè)點(diǎn)使△ABP為直角三角形．