【題目】已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的長(zhǎng)半軸為半徑的圓與直線相切.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)已知點(diǎn), 為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),問:在軸上是否存在點(diǎn),使為定值?若存在,試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1;(2)定點(diǎn)為.

【解析】試題分析:(Ⅰ)由e=,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切,求出a,b,由此能求出橢圓的方程.

)由,得(1+3k2x212k2x+12k2﹣6=0,由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積,結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點(diǎn)E,使為定值,定點(diǎn)為().

試題解析:

(Ⅰ)由e=,得=,即c=a,①

以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓為x2+y2=a2

此圓與直線2x﹣+6=0相切,∴a==,

代入得c=2,(4分)

∴b2=a2﹣c2=2,∴橢圓的方程為

(Ⅱ)由,得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,(6分)

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∴,

根據(jù)題意,假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E(m,0),使得為定值,

則有=(x1﹣m,y1)(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2

=

=(k2+1)

=(k2+1)﹣(2k2+m)+(4k2+m2

=,

要使上式為定值,即與k無關(guān),則應(yīng)有3m2﹣12m+10=3(m2﹣6),

即m=此時(shí)=為定值,定點(diǎn)為().

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定:居民區(qū)的年平均濃度不得超過3S微克/立方米, 24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米.某市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)20162024小時(shí)平均濃度(單位:微克/立方米)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖表:

組別

濃度(微克/立方米)

頻數(shù)天)

頻率

第一組

3

0.15

第二組

12

0.6

第三組

3

0.15

第四組

2

0.1

(Ⅰ)將這20天的測(cè)量結(jié)果按表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖.

(。┣髨D中的值;

(ⅱ)在頻率分布直方圖中估算樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,從的年平均度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善?并說明理由.

(Ⅱ)將頻率視為概率,對(duì)于2016年的某3天,記這3天中該居民區(qū)24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了響應(yīng)我市“創(chuàng)建宜居港城,建設(shè)美麗莆田”,某環(huán)保部門開展以“關(guān)愛木蘭溪,保護(hù)母親河”為主題的環(huán)保宣傳活動(dòng),將木蘭溪流經(jīng)市區(qū)河段分成段,并組織青年干部職工對(duì)每一段的南、北兩岸進(jìn)行環(huán)保綜合測(cè)評(píng),得到分值數(shù)據(jù)如下表:

南岸

77

92

84

86

74

76

81

71

85

87

北岸

72

87

78

83

83

85

75

89

90

95

(Ⅰ)記評(píng)分在以上(包括)為優(yōu)良,從中任取一段,求在同一段中兩岸環(huán)保評(píng)分均為優(yōu)良的概率;

(Ⅱ)根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖;

)分別估計(jì)兩岸分值的中位數(shù),并計(jì)算它們的平均值,試從計(jì)算結(jié)果分析兩岸環(huán)保情況,哪邊保護(hù)更好.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓G 的離心率為,過橢圓G右焦點(diǎn)F的直線mx1與橢圓G交于點(diǎn)M(點(diǎn)M在第一象限)

()求橢圓G的方程;

()已知A為橢圓G的左頂點(diǎn)平行于AM的直線l與橢圓G相交于B,C兩點(diǎn),請(qǐng)判斷直線MBMC是否關(guān)于直線m對(duì)稱,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)sinωxcosωxcos2ωx (ω0),經(jīng)化簡(jiǎn)后利用“五點(diǎn)法”畫其在某一周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:

x

f(x)

0

1

0

1

0

(1)請(qǐng)直接寫出①處應(yīng)填的值,并求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域;

(2)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知f(A)1,bc4,a,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P,Q滿足條件:①PQ都在函數(shù)yf(x)的圖象上;②P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則稱(P,Q)是函數(shù)yf(x)的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”(點(diǎn)組(P,Q)(QP)看作同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”).已知函數(shù)f(x)有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(  )

A. (,0) B. (0,1)

C. D. (0,+)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱性與周期性,有下列說法:若函數(shù)yf(x)滿足f(x1)f(3x),則f(x)的一個(gè)周期為T2;若函數(shù)yf(x)滿足f(x1)f(3x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱;函數(shù)yf(x1)與函數(shù)yf(3x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱;若函數(shù)與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則,其中正確的個(gè)數(shù)是()

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知雙曲線E (a>0,b>0)的漸近線方程為3x±4y=0,且過焦點(diǎn)垂直x軸的直線與雙曲線E相交弦長(zhǎng)為,過雙曲線E中心的直線與雙曲線E交于AB兩點(diǎn),在雙曲線E上取一點(diǎn)C(與A,B不重合),直線ACBC 的斜率分別為k1,k2,則k1k2等于( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|,a∈R.

(Ⅰ)當(dāng)a=4時(shí),求不等式f(x)≥7的解集;

(Ⅱ)若f(x)≥5對(duì)x∈R恒成立,求a的取值范圍.

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