Question

已知函數(shù)若存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂），則x₁f（x₂）的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先作出函數(shù)圖象然后根據(jù)圖象可得要使存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂）則必有0≤x₁＜且x+在[0，）的最小值大于等于2^x-1在[，2）的最小值從而得出x₁的取值范圍然后再根據(jù)x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=+即問題轉化為求y=+在x₁的取值范上的值域．
解答：解：作出函數(shù)的圖象：
∵存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂）
∴0≤x₁＜
∵x+在[0，）上的最小值為；2^x-1在[，2）的最小值為
∴x₁+≥，x₁≥
∴≤x₁＜
∵f（x₁）=x₁+，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=+
令y=+（≤x₁＜）
∴y=+為開口向上，對稱軸為x=-的拋物線
∴y=+在區(qū)間[，）上遞增
∴當x=時y=
當x=時y=
∴y∈[，）
即x₁f（x₂）的取值范圍為[，）
故答案為[，）
點評：本題主要考查了利用一元二次函數(shù)的單調性求函數(shù)的值域，屬常考題，較難．解題的關鍵是根據(jù)函數(shù)的圖象得出x₁的取值范圍進而轉化為y=+在x₁的取值范上的值域即為所求同時一元二次函數(shù)的單調性的判斷需考察對稱軸與區(qū)間的關系這要引起重視！