Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中實數(shù)a為常數(shù)．
（Ⅰ）當a=-l時，確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值為-3，求a的值；
（Ⅲ）當a=-1時，證明|f(x)|＞

lnx

x

+

1

2

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）在定義域（0，+∞）內(nèi)對函數(shù)f（x）求導，再根據(jù)導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）在定義域（0，+∞）內(nèi)對函數(shù)f（x）求導，對a進行分類討論并判斷其單調(diào)性，根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調(diào)性求其最大值，并判斷其最大值是否為-3，若是就可求出相應的最大值．
（Ⅲ）根據(jù)（1）可求出|f（x）|的值域，通過求導可求出函數(shù)g（x）=

lnx

x

+

1

2

的值域，通過比較上述兩個函數(shù)的值域，就可判斷出方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

的大小關(guān)系．

解答： 解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=-x+lnx，
∴f′(x)=

1-x

x

，
又x＞0，所以當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，
即f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)．
（Ⅱ）∵f′(x)=

1+ax

x

，
①若a≥0，∵x＞0，則f′（x）＞0，在區(qū)間（0，e]上恒成立，
f（x）在區(qū)間（0，e]上為增函數(shù)，f（x）_max=ae+lne=ae+1=-3，
∴a=-

4

e

＜0，舍去；
②當a∈[-

1

e

，0)時，
∵x∈（0，e]，∴ax+1≥0，∴f'（x）≥0，f（x）在區(qū)間（0，e]上為增函數(shù)，
f（x）_max=ae+lne=ae+1=-3，∴a=-

4

e

＜0，舍去；
③若a＜-

1

e

，當x∈(0，-

1

a

)時，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間(0，-

1

a

)上為增函數(shù)，
當x∈(-

1

a

，e)時，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間(-

1

a

，e)上為減函數(shù)，f(x)max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-3，∴a=-e2＜-

1

e

．
綜上a=-e²．
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，當a=-1時，f（x）有最大值，最大值為f（1）=-1，即f（x）≤-1，
所以|f（x）|≥1，…（10分）
令g(x)=

lnx

x

+

1

2

，則g′(x)=

1-lnx

x2

，
當x∈（0，e）時，g′（x）＞0，g（x）在區(qū)間（0，e）上為增函數(shù)，
當x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）在區(qū)間（e，+∞）上為減函數(shù)，
所以當x=e時，g(x)=

lnx

x

+

1

2

有最大值

1

e

+

1

2

＜1，
所以|f（x）|＞g（x），
即|f(x)|＞

lnx

x

+

1

2

．

點評：本題先通過對函數(shù)求導，求其極值，進而在求其最值及值域，用到分類討論的思想方法．