已知向量a=(-cosx，2sin
x
2
)，b=(cosx，2cos
x
2
)，f(x)=2-sin2x-
1
4
|a-b|2．
（1）將函數(shù)f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的
1
2
，縱坐標(biāo)不變，繼而將所得圖象上的各點(diǎn)向右平移
π
6
個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且f(C)=2f(A)，a=
5
，b=3，求c及cos(2A+
π
4
)的值．
分析：（1）由題意可求f（x）=2-sin2x-
1
4
[4cos2x+4(sin
x
2
-cos
x
2
)2]=sinx，根據(jù)函數(shù)的圖象變換法則可求g（x）=sin2(x-
π
6
)=sin(2x-
π
3
)，令2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈Z可求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）由已知可得sinC=2sinA，結(jié)合正弦定理可得，c=2a=2
5
，由余弦定理可求cosA=
b2+c2-a2
2bc
，進(jìn)而可求cos2A=2cos2A-1，利用sin2A=
1-cos22A
可求sin2A，然后由兩角和的余弦公式可求
解答：解：（1）∵
a
=(-cosx，2sinx)，
b
=(2cosx，
3
cosx)
∴
a
-
b
=(-3cosx，2sinx-
3
cosx)
∴f（x）=2-sin2x-
1
4
[4cos2x+4(sin
x
2
-cos
x
2
)2]
=2-sin2x-cos2x-1+sinx=sinx（2分）
由題意，g（x）=sin2(x-
π
6
)=sin(2x-
π
3
)（4分）
令2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈Z
解得，kπ-
π
12
≤x≤kπ+
5π
12
，k∈Z
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-
π
12
，kπ+
5π
12
]，k∈Z
（2）由f（x）=sinx及f（C）=2f（A）可得sinC=2sinA
由正弦定理可得，c=2a=2
5
（7分）
由余弦定理可得，cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
9+(2
5
)2-(
5
)2
2×3×2
5
=
2
5
5
（8分）
于是cos2A=2cos2A-1=2×
4
5
-1=
3
5
（9分）
由a＜c知A＜C，從而0＜A＜
π
2
，0＜2A＜π，所以sin2A＞0
所以sin2A=
1-cos22A
=
4
5
（10分）
所以cos（2A+
π
4
）=cos2Acos
π
4
-sin2Asin
π
4

=
2
2
×(
3
5
-
4
5
)=-
2
10
（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，二倍角公式及同角平方關(guān)系及兩角和的余弦公式的綜合應(yīng)用，是常考題型
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（　　）
（1）
AB
+
MB
+
BC
+
OM
+
CO
=
AB

（2）已知向量
a
=（6，2）與
b
=（-3，k）的夾角是鈍角，則k的取值范圍是k＜0
（3）若向量
e1
=(2，-3)，
e2
=(
1
2
，-
3
4
)能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
（4）若
a
∥
b
，則
a
在
b
上的投影為|
a
|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知下列各式：
①
AB
+
BC
+
CA
；            
②
AB
+
MB
+
BO
+
OM

③
AB
-
AC
+
BD
-
CD

④
OA
+
OC
+
BO
+
CO

其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量
m
=（2a-c，b）與向量
n
=（cosB，-cosC）互相垂直．
（1）求角B的大��；
（2）求函數(shù)y=2sin2C+cos（B-2C）的值域；
（3）若AB邊上的中線CO=2，動(dòng)點(diǎn)P滿足
AP
=sin2θ•
AO
+cos2θ•
AC
(θ∈R)，求(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（　　）
（1）
AB
+
MB
+
BC
+
OM
+
CO
=
AB

（2）已知向量
a
=（6，2）與
b
=（-3，k）的夾角是鈍角，則k的取值范圍是k＜0
（3）若向量
e1
=(2，-3)，
e2
=(
1
2
，-
3
4
)能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
（4）若
a
∥
b
，則
a
在
b
上的投影為|
a
|．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

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