Question

（I）A為△ABC的內(nèi)角，則sinA+cosA的取值范圍是

(-1，

2

]

．
（II）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．
如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧

AB

上變動(dòng)．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，則x+y的最大值是

2

．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)輔助角公式，我們可以將sinA+cosA化為正弦型函數(shù)的形式，根據(jù)A為△ABC的內(nèi)角，即可得到sinA+cosA的取值范圍；
（II）∠AOC=α，我們可以得到x，y的解析式（含參數(shù)α），根據(jù)輔助角公式，我們可以得到x+y的表達(dá)式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得到x+y的最大值．

解答：解：（I）∵sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）
又∵A∈（0，π）
∴

2

sin（A+

π

4

）∈(-1，

2

]；
（II）設(shè)∠AOC=α
∴

OC • OA =x OA • OA +y OB • OA OC • OB =x OA • OB +y OB • OB

即

cosα=x- 1 2 y cos(120°-α)=- 1 2 x+y

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+

3

sinα=2sin（x+

π

6

）≤2
故x+y的最大值是 2
故答案為：(-1，

2

]，2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦函數(shù)的值域，向量的加法及其幾何意義，熟練掌握輔助角公式及正弦型函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．