Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=

1-bn

2

（n∈N^﹡）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記c_n=a_n•b_n，比較c_n+1與c_n的大��；
（Ⅲ）記c_n=a_n•b_n求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的通項公式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求出數(shù)列{a_n}的公差，即可求其通項，判斷{b_n}是等比數(shù)列，即可求{b_n}通項公式；
（Ⅱ）求出c_n=a_n•b_n，利用作差法，即可比較c_n+1與c_n的大小；
（Ⅲ）利用錯位相減法即可求得{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）方程x²-14x+45=0的兩根是5，9．
∵等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，
∴a₃=5，a₅=9，
∴d=2，
∴a_n=5+2（n-5）=2n-1；
當(dāng)n≥2，b_n=S_n-S_n-1=

1

2

（b_n-1-b_n），
∴b_n=

1

3

b_n-1，
∵b_n=

1

3

，
∴數(shù)列{b_n}是以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=

1

3n

；
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

，
∴c_n+1-c_n=

2n+1

3n+1

-

2n-1

3n

=

4(1-n)

3n+1

，
∴n=1時，c_n+1=c_n，n≥時，c_n+1＜c_n；
（Ⅲ）c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=

1

3

+3•3^-2+5•3^-3+…+（2n-1）•3^-n①，

1

3

T_n=3^-2+3•3^-3+5•3^-4+…+（2n-1）•3^-n-1②，
①-②整理可得，T_n=1-n•3^-n．

點評：本題考查等差、等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和，考查錯位相減法對數(shù)列求和，屬于中檔題．