Question

7．已知S_n是各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和，且對于任意n∈N^*，均有2S_n=a²_n+a_n成立．?dāng)?shù)列（b_n}滿足a_n=log₂b_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）記d_n=5a_n-b_n，若已知存在正整數(shù)M，使得對一切n∈N^*，d_n≤M恒成立，請猜測M的最小值，并通過研究數(shù)列{d_n}的單調(diào)性證明你的猜測．

Answer 1

分析 （1）討論當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，化簡整理，由等差數(shù)列的通項公式可得通項；
（2）由對數(shù)的定義，可得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）求得d_n=5（n+1）-2ⁿ⁺¹，分別計算前幾項，可得d₂最大，猜測M的最小值為7．再由作差法，可得{d_n}的單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁，2S₁=a₁²+a₁，
解得a₁=2，
當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，
2S_n=a_n²+a_n，即有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
兩式相減可得，2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
即有（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=a_n+a_n-1，
即為a_n-a_n-1=1，則a_n=2+n-1=n+1；
（2）數(shù)列（b_n}滿足a_n=log₂b_n，
即有b_n=${2}^{{a}_{n}}$，即為b_n=2ⁿ⁺¹；
（3）d_n=5a_n-b_n=5（n+1）-2ⁿ⁺¹，
由d₁=10-4=6，d₂=15-8=7，d₃=20-16=4，
d₄=25-32=-7，…
猜測M的最小值為7．
由d_n+1-d_n=5（n+2）-2ⁿ⁺²-5（n+1）+2ⁿ⁺¹
=5-2ⁿ⁺¹，當(dāng)n=1，d₂＞d₁，
當(dāng)n＞1時，d_n+1-d_n＜0，即有數(shù)列{d_n}的單調(diào)遞減，
則有d₂取得最大值7，
則對一切n∈N^*，d_n≤M恒成立，所以M≥7，M的最小值為7．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的通項公式的運用和數(shù)列的單調(diào)性的運用，考查數(shù)列不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．