Question

已知{a_n}是各項不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且a_n²=S_2n-1，n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=

2

anan+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（�。┣骉_n；
（ⅱ）若對任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)公差為d，在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，可得關(guān)于a₁，d的方程組，解出a₁，d，由等差數(shù)列通項公式可得a_n；
（2）（i）b_n=

2

anan+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項相消法可求得T_n；
（ii）分n為偶數(shù)，n為奇數(shù)兩種情況進(jìn)行討論：分別分離出參數(shù)λ后，轉(zhuǎn)化為最值問題解決，分別利用基本不等式、單調(diào)性可求得最值；

解答：解：（1）設(shè)公差為d，在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，
得

a12=S1 a22=S3

，即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）（i）．∵b_n=

2

anan+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=（1-

1

3

）（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．
（ii））①當(dāng)n為偶數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

2n

=n+

4

n

+

17

2

恒成立．
∵n+

4

n

≥4，等號在n=2時取得．∴此時λ需滿足λ＜

25

2

．
②當(dāng)n為奇數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

2n

=n-

4

n

-

15

2

恒成立．
∵n-

4

n

是隨n的增大而增大，∴n=1時n-

4

n

取得最小值-3，
∴此時λ需滿足λ＜-

21

2

．
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ＜-

21

2

．

點(diǎn)評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、數(shù)列求和，恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．