Question

如圖，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=CD=1，分別為AC、AD的中點．
（1）求證：平面BEF⊥平面ABC；
（2）求直線AD與平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）證明：∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．
∵E、F分別為AC、AD的中點，
∴EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC，
∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
（2）過A作AH⊥BE于H，連接HF，
由（1）可得AH⊥平面BEF，
∴∠AFH為直線AD與平面BEF所成角．
在Rt△ABC中，為AC中點，
∴∠ABE=30°，
∴．
在Rt△BCD中，BC=CD=1，
∴．
∴在Rt△ABD中，
∴．
∴在Rt△AFH中，，
∴AD與平面BEF所成角的正弦值為．
分析：（1）通過證明CD⊥平面ABC，CD∥EF，說明EF?平面BEF，即可證明平面BEF⊥平面ABC；
（2）過A作AH⊥BE于H，連接HF，可得AH⊥平面BEF，推出∠AFH為直線AD與平面BEF所成角．在Rt△AFH中，求直線AD與平面BEF所成角的正弦值．
點評：證明兩個平面垂直，關鍵在一個面內(nèi)找到一條直線和另一個平面垂直；利用三垂線定理找出二面角的平面角，解三角形求出此角，是常用方法．