Question

集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）構(gòu)成的：對(duì)于任意的m，n∈[-1，1]，且m≠n，都有|f（m）-f（n）|≤3|m-n|．
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=x²是否在集合A中？并說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx，若對(duì)于任意的m，n∈[-1，1]，有|a（m+n）+b|≤3恒成立，試求2a+b的取值范圍，并推理判斷f（x）是否在集合A中？
（3）在（2）的條件下，若f（-2）=6，且對(duì)于滿足（2）的每個(gè)實(shí)數(shù)a，存在最大的實(shí)數(shù)t，使得當(dāng)x∈[-2，t]時(shí)，|f（x）|≤6恒成立，試求用a表示t的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：綜合題

分析：第（1）問判斷函數(shù)f₁（x）=x²是否在集合A中，就是驗(yàn)證是否滿足|f（m）-f（n）|≤3|m-n|，代入驗(yàn)證即可；
第（2）問把恒成立問題轉(zhuǎn)化成求最值問題解決，在求最值時(shí)可以使用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)；
第（3）問，|f（x）|≤6恒成立，就是讓f（x）的最小值大于等于-6，最大值小于等于6，要根據(jù)條件先求出a的范圍，然后根據(jù)a的范圍，求函數(shù)f（x）的最值．

解答： 解：（1）f1(x)=x2在集合A中．理由如下：設(shè)m，n∈[-1，1]，且m≠n，則
|f₁（m）-f₁（n）|=|m²-n²|=|（m+n）（m-n）|=|m+n|•|m-n|
≤（|m|+|n|）•|m-n|≤2|m-n|≤3|m-n|
∴f1(x)=x2在集合A中…4分
（2）∵對(duì)于任意的m，n∈[-1，1]，有|a（m+n）+b|≤3恒成立，
∴令u=m+n∈[-2，2]，則|au+b|≤3恒成立，|au+b|_max≤3
∵|au+b|≤|au|+|b|≤|2a|+|b|
∴|2a|+|b|≤3
∴|2a+b|≤|2a|+|b|≤3  即2a+b∈[-3，3]…7分
 當(dāng)m，n∈[-1，1]且m≠n時(shí)，有|f（m）-f（n）|=|（am²+bm）-（an²+bn）|=|a（m+n）+b||m-n|
 又∵對(duì)任意的m，n∈[-1，1]，|a（m+n）+b|≤3恒成立，
∴|f（m）-f（n）|=|a（m+n）+b||m-n|≤3|m-n|成立，
∴f（x）=ax²+bx在集合A中…9分
 （3）由f（-2）=6，可知b=2a-3  又因?yàn)?a+b∈[-3，3]
∴2a+b=4a-3∈[-3，3]∴a∈[0，

3

2

]
 ①當(dāng)a=0時(shí)，b=-3，f（x）=-3x是減函數(shù)，|f（-2）|=|f（2）|=6
∴t=2…10分
 ②當(dāng)a∈(0，

3

2

]時(shí)，f（x）=ax²+（2a-3）x
該函數(shù)表示開口向上的拋物線，對(duì)稱軸x=

3-2a

2a

≥0，f(-2)=f(

3

a

)=6，最小值為f(

3-2a

2a

)=-

(2a-3)2

4a

（�。┊�(dāng)-

(2a-3)2

4a

≥-6時(shí)，即 4a²-36a+9≤0，解得

9-6 2

2

≤a≤

3

2

若|f（x）|≤6在x∈[-2，t]恒成立，此時(shí)t的最大值為f（x）=6的解x1=-2，x2=

3

a

中較大的根，所以
t=

3

a

…12分
（ii）當(dāng)-

(2a-3)2

4a

＜-6時(shí)，即4a²-36a+9＞0，解得0＜a＜

9-6 2

2

 此時(shí)，令f（x）=-6，解得x=

3-2a± 4a2-36a+9

2a

，
 若|f（x）|≤6在x∈[-2，t]上恒成立，則t為其中較小的根，
∴t=

3-2a- 4a2-36a+9

2a

  綜上所述，t=

2，                       (a=0) 3-2a- 4a2-36a+9 2a ，(0＜a＜ 9-6 2 2 ) 3 a ， ( 9-6 2 2 ＜a＜ 3 2 )

…14分

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性很強(qiáng)，重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化思想，把恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題，數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想．本題難度較大，特別是最后一問，涉及的字母比較多，對(duì)于字母間的關(guān)系及字母在解題過程中充當(dāng)?shù)慕巧�不易分清�?/div>