【題目】設(shè)橢圓E： 過 ， 兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E 恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且 ？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．

【答案】
（1）解：因?yàn)闄E圓E： （a，b＞0）過M（2， ），N（ ，1）兩點(diǎn)，

所以 ，解得 ，

所以 ，

所以橢圓E的方程為


（2）解：假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且 ，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m．

解方程組 得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，

則△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，

即8k2﹣m2+4＞0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

．

要使 ，需使x1x2+y1y2=0，即 ，

所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以 ．

又8k2﹣m2+4＞0，所以 ，

所以 ，即 或 ，

因?yàn)橹本�y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為 ，

所以 ，所以 ，

所以所求的圓為 ，此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足 或 ，

而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為 與橢圓 的兩個(gè)交點(diǎn)為 或 ，滿足 ，

綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓 ，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且


【解析】（1）利用待定系數(shù)法，可求橢圓E的方程；（2）分類討論，設(shè)出切線方程與橢圓方程聯(lián)立，要使 ，需使x1x2+y1y2=0，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解．

練習(xí)冊系列答案
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（2）若AB=AD，求 的值．

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（1）求曲線在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

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【題目】已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為F1， F2，直線l1過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M.

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（2）設(shè)與x軸交于點(diǎn)Q， 上不同于點(diǎn)Q的兩點(diǎn)R、S，且滿足，求的取值范圍．

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【題目】如圖，在直角△ABC中，AB⊥BC，D為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O，并分別交AC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．

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（2）若D為BC的中點(diǎn)，且AF=3，F(xiàn)D=1，求AE的長．

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（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線、的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；

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（2）若計(jì)劃在河流和觀光帶之間新建一個(gè)如圖所示的矩形綠化帶，綠化帶僅由線段構(gòu)成，其中點(diǎn)在線段上．當(dāng)長為多少時(shí)，綠化帶的總長度最長？

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