Question

如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分別是AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）若二面角P-CD-B為45°，求證：平面PCE⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）取PC的中點為M，連接EM、FM，易證AF∥EM，而EM?面PCE，AF?面PCE根據(jù)線面平行的判定定理可知AF∥平面PCE；
（2）先證明∠PDA為二面角P-CD-B的平面角，∠PDA=45°，故△PAD為等腰Rt△，要證平面PCE⊥平面PCD，關(guān)鍵是找線面垂直，易證EM⊥面PCD，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證得．

解答：（1）證明：如圖，取PC的中點為M，連接EM、FM．由?FMAE?四邊形AFME為平行四邊形
FM

∥

.

1

2

CD
AE

∥

.

1

2

CD?AF∥面PCE．
?AF∥EM
EM?面PCE
AF?面PCE∴AF∥平面PCE
（2）證明：有

PA⊥面ABCD CD?面ABCD

?

PA⊥CD 又CD⊥AD

?

CD⊥平面PAD PD?面PAD

?CD⊥PD
則∠PDA為二面角P-CD-B的平面角．
∠PDA=45°，故△PAD為等腰Rt△．

由PA=AD PF=DF ?AF⊥PD CD⊥面PAD AF?面PAD  ?AF⊥CD

 ?

AF⊥PCD FM∥AF

?

EM⊥面PCD EM?PCE

?面PCE⊥面PCD

點評：本題主要考查了直線與平面平行，以及平面與平面垂直等知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．