如圖，有一塊半橢圓形的鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，則梯形ABCD的面積S的最大值為________．


分析：由題意可得橢圓的方程，求出其參數(shù)方程，然后由題意得出梯形的高與上底面的長(zhǎng)度公式求出面積即可．
解答：以AB所在直線為 X軸，其垂直平分線為Y軸建系，則橢圓的參數(shù)方程為方程為x=rcosθ，y=2rsinθ，在圖形中取AB中點(diǎn)O，連接OC，令角COB為θ
則下底邊長(zhǎng)為2r，上底邊長(zhǎng)為2rcosθ，高為2rsinθ，
故梯形的面積為S==2r2（sinθ+sinθcosθ）
S′=2r2（2cos2θ+cosθ-1），令S′=0，得cosθ=，故sinθ=
即當(dāng)cosθ=時(shí)，面積最大最大值為
故答案為
點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，根據(jù)圖形及題設(shè)本題選擇了用橢圓的參數(shù)方程表示變量，給建立函數(shù)模型帶來了方便，解題時(shí)要注意綜合利用知識(shí)，尤其是在函數(shù)的應(yīng)用題中，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型是求解的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．
（Ⅰ）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；
（Ⅱ）求面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，有一塊半橢圓形的鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，則梯形ABCD的面積S的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．以AB為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）寫出該半橢圓的方程；求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=S2，求f（x）的最大值，并求出此時(shí)的x值（均用r表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年黑龍江省哈爾濱師大附中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．
（Ⅰ）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；
（Ⅱ）求面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷（北京） 題型：解答題

（本小題共13分）

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為．

（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；

（II）求面積的最大值．

 

 

 

 

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