精英家教網(wǎng)如圖,某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,△ABC外的地方種草,△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池,其余地方種花.若BC=20米,∠ABC=θ,設(shè)△ABC的面積為S1,正方形PQRS的面積為S2,將比值
S1S2
稱為“規(guī)劃合理度”.
(1)試用θ表示S1和S2
(2)當(dāng)θ變化時,求“規(guī)劃合理度”取得最小值時的角θ的大。
分析:(1)據(jù)題知三角形ABC為直角三角形,根據(jù)三角函數(shù)分別求出AC和AB,求出三角形ABC的面積S1;設(shè)正方形PQRS的邊長為x,利用三角函數(shù)分別表示出BQ和RC,利用BQ+QR+RC=20列出方程求出x,算出S2;
(2)由比值
S1
S2
稱為“規(guī)劃合理度”,可設(shè)t=sin2θ來化簡求出S1與S2的比值,利用三角函數(shù)的增減性求出比值的最小值即可求出此時的θ.
解答:解:(1)如圖,在Rt△ABC中,AC=20sinθ,AB=20cosθ,
S1=
1
2
×202×sinθcosθ
=100sin2θ,
設(shè)正方形的邊長為x則BQ=
x
tanθ
,RC=xtanθ
,
x
tanθ
+x+xtanθ=20
,
x=
20
1
tanθ
+tanθ+1
=
20sin2θ
2+sin2θ
S2=x2=(
20sin2θ
2+sin2θ
)2
;
(2)t=sin2θ而S2=
202sin2θ
4+4sin2θ+sin2
S1
S2
=
1
4
(t+
1
t
+4)
,
∵0<θ<
π
2
,又0<2θ<π,∴0<t≤1∴f(t)=
1
4
(t+
1
t
+4)
為減函數(shù)
當(dāng)t=1時
S1
S2
取得最小值為
3
2
此時sin2θ=1∴θ=
π
4
點評:考查學(xué)生會根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)關(guān)系的能力,以及在實際問題中建立三角函數(shù)模型的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池,△ABC外的地方種草,其余地方種花.若BC=a,∠ABC=θ,設(shè)△ABC的面積為S1,正方形PQRS的面積為S2,將比值
S1S2
稱為“規(guī)劃合理度”.
(1)試用a,θ表示S1和S2;
(2)若a為定值,當(dāng)θ為何值時,“規(guī)劃合理度”最?并求出這個最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為AB的半圓形空地,點C在半圓弧上,半圓內(nèi)△ABC外的地方種草,△ABC的內(nèi)接正方形PQRS內(nèi)部為一水池,其余地方種花,若AB=2a,∠CAB=θ,設(shè)△ABC的面積為S1,正方形PQRS的邊長為x,面積為S2,將比值
S1
S2
稱為“規(guī)劃合理度”.
(1)求證:x=
2asin2θ
2+sin2θ

(2)當(dāng)a為定值,θ變化是,求“規(guī)劃合理度”的最小值及此時角θ的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為AB的半圓形空地,O為圓心,C為圓周上一點,CD⊥AB于D,△ACD內(nèi)為一水池,△ACD外栽種花草,若AB=100米,∠CAB=θ,y=AC+CD.
(1)試用θ表示y;
(2)求y的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•楊浦區(qū)二模)如圖,某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,△ABC外的地方種草,△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池,其余地方種花.若BC=a,∠ABC=θ,設(shè)△ABC的面積為S1,正方形PQRS的面積為S2,將比值
S1S2
稱為“規(guī)劃合理度”.
(1)試用a,θ表示S1和S2
(2)(理)當(dāng)a為定值,θ變化時,求“規(guī)劃合理度”取得最小值時的角θ的大。
(3)(文)當(dāng)a為定值,θ=150時,求“規(guī)劃合理度”的值.

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同步練習(xí)冊答案