Question

（本小題共12分）

若對于定義在R上的連續(xù)函數(shù)，存在常數(shù)（），使得對任意的實(shí)數(shù)成立，則稱是回旋函數(shù)，且階數(shù)為.

（Ⅰ）試判斷函數(shù)是否是一個回旋函數(shù)；

（Ⅱ）已知是回旋函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅲ）若對任意一個階數(shù)為的回旋函數(shù)，方程均有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

Answer 1

（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）不是回旋函數(shù).                 …………………………………1分

方法一：假設(shè)是階回旋函數(shù)，則

，即對任意實(shí)數(shù)成立.

所以 . 而此式無解.

所以不是回旋函數(shù).                      …………………………………3分

方法二：假設(shè)是階回旋函數(shù)，則

，即對任意實(shí)數(shù)成立.

而當(dāng)時，對任意的實(shí)數(shù)，，

所以.

所以不是回旋函數(shù).                      …………………………………3分

（Ⅱ）設(shè)是階回旋函數(shù)，則，

若，上式對任意實(shí)數(shù)均成立；

若，得對任意實(shí)數(shù)成立.

所以對任意實(shí)數(shù)成立.

則且.

所以.

所以.

若，則

解得.

若，則

解得.

綜上所述，.                        …………………………………7分

（Ⅲ）當(dāng)時，階回旋函數(shù)應(yīng)滿足恒成立，所以有實(shí)數(shù)根；

當(dāng)時，令，得.所以.

若，顯然有實(shí)數(shù)根；

若，則.

又因?yàn)?img width=37 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/490/79990.gif" >是連續(xù)函數(shù)，所以在上必有實(shí)數(shù)根.

當(dāng)時，取，

考察，顯然是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且

.

所以是階回旋函數(shù).

因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)，，所以無實(shí)數(shù)根.

綜上所述，滿足條件的的取值范圍為.      …………………………………12分

注：對于其它正確解法，相應(yīng)給分.