【題目】某果園種植“糖心蘋果”已有十余年,根據(jù)其種植規(guī)模與以往的種植經(jīng)驗(yàn),產(chǎn)自該果園的單個(gè)“糖心蘋果”的果徑(最大橫切面直徑,單位:)在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布
.
(1)一顧客購買了20個(gè)該果園的“糖心蘋果”,求會(huì)買到果徑小于56的概率;
(2)為了提高利潤,該果園每年投入一定的資金,對(duì)種植、采摘、包裝、宣傳等環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn).如圖是2009年至2018年,該果園每年的投資金額(單位:萬元)與年利潤增量
(單位:萬元)的散點(diǎn)圖:
該果園為了預(yù)測(cè)2019年投資金額為20萬元時(shí)的年利潤增量,建立了關(guān)于
的兩個(gè)回歸模型;
模型①:由最小二乘公式可求得與
的線性回歸方程:
;
模型②:由圖中樣本點(diǎn)的分布,可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線:的附近,對(duì)投資金額
做交換,令
,則
,且有
,
,
,
.
(I)根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量,求模型②中關(guān)于
的回歸方程;
(II)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較兩種模型的相關(guān)指數(shù),并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預(yù)測(cè)投資金額為20萬元時(shí)的年利潤增量(結(jié)果保留兩位小數(shù)).
回歸模型 | 模型① | 模型② |
回歸方程 | ||
102.28 | 36.19 |
附:若隨機(jī)變量,則
,
;樣本
的最小乘估計(jì)公式為
,
;
相關(guān)指數(shù).
參考數(shù)據(jù):,
,
,
.
【答案】(1)0.3695;(2)(I),(II)模型①的
小于模型②,說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好,當(dāng)
時(shí),模型②的年利潤增量的預(yù)測(cè)值為
(萬元),
【解析】
(1)由已知滿足正態(tài)分布,則可知,
的值,由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知,可求得買一個(gè)蘋果,其果徑小于56
的概率
,由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的運(yùn)算方式,求得購買20個(gè)“糖心蘋果”中有果徑小于56
的蘋果概率;
(2)(I)由最小二乘法求得模型②中關(guān)于
的回歸方程;
(II)分別計(jì)算兩種模型的相關(guān)系數(shù)的平方,得模型②的相關(guān)系數(shù)的平方更大其擬合程度越好,再代進(jìn)行計(jì)算,求得預(yù)測(cè)值.
(1)由已知,當(dāng)個(gè)“糖心蘋果”的果徑,
則,
.
由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知,
設(shè)一顧客購買了20個(gè)該果園的“糖心蘋果”,其中果徑小于56
的有
個(gè),則
,
故,
所以這名顧客所購買20個(gè)“糖心蘋果”中有果徑小于56的蘋果概率為0.3695.
(2)(I)由,
,可得
,
,
又由題,得,
則
所以,模型②中關(guān)于
的回歸方程
.
(II)由表格中的數(shù)據(jù),有,即
,
所以模型①的小于模型②,說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好,
當(dāng)時(shí),模型②的年利潤增量的預(yù)測(cè)值為
(萬元),
這個(gè)結(jié)果比模型①的預(yù)測(cè)精度更高、更可靠.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間和極值;
設(shè)
,且
、
是曲線
上的任意兩點(diǎn),若對(duì)任意的
,直線AB的斜率恒大于常數(shù)m,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足
.
(1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為
,若
,且對(duì)任意的正整數(shù)n,都有
,求整數(shù)
的值;
(3)設(shè)數(shù)列滿足
,若
,且存在正整數(shù)s,t,使得
是整數(shù),求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示, 是邊長為3的正方形,
平面
與平面
所成角為
.
(Ⅰ)求證: 平面
;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是線段
上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)
的位置,使得
平面
,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一個(gè)倉庫設(shè)計(jì)由上部屋頂和下部主體兩部分組成,屋頂?shù)男螤钍撬睦忮F,四邊形
是正方形,點(diǎn)
為正方形
的中心,
平面
;下部的形狀是長方體
.已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比,比例系數(shù)為
,下部主體造價(jià)與高度成正比,比例系數(shù)為
.若欲造一個(gè)上、下總高度為10
,
的倉庫,則當(dāng)總造價(jià)最低時(shí),
( )
A.B.
C.4
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中取兩個(gè)定點(diǎn)
,
,再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)
,
,且
.
(1)求直線與
的交點(diǎn)
的軌跡
的方程;
(2)過的直線與軌跡
交于
兩點(diǎn),過點(diǎn)
作
軸且與軌跡
交于另一點(diǎn)
,
為軌跡
的右焦點(diǎn),若
,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)α是給定的平面,A,B是不在α內(nèi)的任意兩點(diǎn),則( )
A.在α內(nèi)存在直線與直線AB異面
B.在α內(nèi)存在直線與直線AB相交
C.在α內(nèi)存在直線與直線AB平行
D.存在過直線AB的平面與α垂直
E.存在過直線AB的平面與α平行
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A1,A2,左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F2,P是雙曲線上異于A1,A2的任意一點(diǎn),給出下列命題,其中是真命題的有( )
A.
B.直線的斜率之積等于定值
C.使得為等腰三角形的點(diǎn)
有且僅有8個(gè)
D.的面積為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),若對(duì)任意
、
,且
,都有
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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