Question

【題目】某果園種植“糖心蘋果”已有十余年，根據(jù)其種植規(guī)模與以往的種植經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)自該果園的單個(gè)“糖心蘋果”的果徑（最大橫切面直徑，單位：）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布.

（1）一顧客購買了20個(gè)該果園的“糖心蘋果”，求會(huì)買到果徑小于56的概率；

（2）為了提高利潤，該果園每年投入一定的資金，對(duì)種植、采摘、包裝、宣傳等環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn).如圖是2009年至2018年，該果園每年的投資金額（單位：萬元）與年利潤增量（單位：萬元）的散點(diǎn)圖：

該果園為了預(yù)測(cè)2019年投資金額為20萬元時(shí)的年利潤增量，建立了關(guān)于的兩個(gè)回歸模型；

模型①：由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程：；

模型②：由圖中樣本點(diǎn)的分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線：的附近，對(duì)投資金額做交換，令，則，且有，，，.

（I）根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中關(guān)于的回歸方程；

（II）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)投資金額為20萬元時(shí)的年利潤增量（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

回歸模型	模型①	模型②
回歸方程
	102.28	36.19

附：若隨機(jī)變量，則，；樣本的最小乘估計(jì)公式為，；

相關(guān)指數(shù).

參考數(shù)據(jù)：，，，.

Answer 1

【答案】（1）0.3695；（2）（I）,（II）模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好，當(dāng)時(shí)，模型②的年利潤增量的預(yù)測(cè)值為（萬元），

【解析】

（1）由已知滿足正態(tài)分布，則可知，的值，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，可求得買一個(gè)蘋果，其果徑小于56的概率，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的運(yùn)算方式，求得購買20個(gè)“糖心蘋果”中有果徑小于56的蘋果概率；

（2）（I）由最小二乘法求得模型②中關(guān)于的回歸方程；

（II）分別計(jì)算兩種模型的相關(guān)系數(shù)的平方，得模型②的相關(guān)系數(shù)的平方更大其擬合程度越好，再代進(jìn)行計(jì)算，求得預(yù)測(cè)值.

（1）由已知，當(dāng)個(gè)“糖心蘋果”的果徑，

則，.

由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，

設(shè)一顧客購買了20個(gè)該果園的“糖心蘋果”，其中果徑小于56的有個(gè)，則，

故，

所以這名顧客所購買20個(gè)“糖心蘋果”中有果徑小于56的蘋果概率為0.3695.

（2）（I）由，，可得，，

又由題，得，

則

所以，模型②中關(guān)于的回歸方程.

（II）由表格中的數(shù)據(jù)，有，即，

所以模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好，

當(dāng)時(shí)，模型②的年利潤增量的預(yù)測(cè)值為

（萬元），

這個(gè)結(jié)果比模型①的預(yù)測(cè)精度更高、更可靠.