Question

如圖示，拋物線方程為y²=p(x+1)(p＞0)，直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準線的右邊．

　　(1)求證：直線與拋物線總有兩個交點；

　　(2)設直線與拋物線的交點為Q、R，OQ⊥OR，求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)表達式．

　　(3)在(2)的條件下，若m變化，使得原點O到直線QR的距離不大于，求p的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：聯(lián)立方程組 　　將式①代入式②，得y2=p(m-y+1) 　　即y2+py-p(m+1)=0 　　判別式D=p2+4pm+4p　　　　　　　　　　　　　 ③ 　　令y=0，代入x+y=m，得x=m． 　　依題意，直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準線的右邊． 　　∴　m＞-1．代入式③，得 　　D=p2+4p(m+1)＞p2+4p()=p2-p2=0 　　∴　直線和拋物線總有兩個交點． 　　(2)解：設Q(x1，y1)，R(x2，y2)，∴　x1=m-y1，x2=m-y2 　　由OQ⊥OR，可得x1x2+y1y2=0，即(m-y1)(m-y2)+y1y2=0 　　2y1y2-m(y1+y2)+m2=0 　　由根與系數(shù)關(guān)系知 　　y1+y2=-p，y1y2=-p(m+1) 　　從而，得-2p(m+1)-m(-p)+m2=0 　　整理得p=f(m)=(m＞-2且m≠0) 　　(3)解：原點到直線x+y=m的距離d=． 　　依題意，有 　　∴　-1≤m≤1 　　又∵　m＞-2且m≠0 　　∴　m∈[-1，0∪(0，1． 　　由P=f(m)==(m+2)+ 　　由函數(shù)y=x+的單調(diào)性可知： 　　m∈(-2，0)時，f(m)是單調(diào)遞減 　　m∈(0，+∞)時，f(m)是單調(diào)遞增 　　∴　m∈[-1，0時，f(m)∈(0，1 　　m∈(0，1時，f(m)∈(0， 　　即p∈(0，1或p∈(0，