Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=\vec m•\vec n$，其中向量$\vec m=（{1，2cosx}）$，$\vec n=（{\sqrt{3}sin2x，cosx}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，已知f（ A）=2，b=1，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求△ABC外接圓半徑R．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式及兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由周期公式和正弦函數(shù)的增區(qū)間，解不等式即可得到所求；
（2）運(yùn)用余弦定理和面積公式，求得a，c，再由正弦定理可得外接圓的半徑R．

解答 解：（1）由函數(shù)$f（x）=\vec m•\vec n$，向量$\vec m=（{1，2cosx}）$，$\vec n=（{\sqrt{3}sin2x，cosx}）$，
即有$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x=cos2x+\sqrt{3}sin2x+1=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．  
所以，函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
即有函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[{-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}]k∈Z$；
（2）f（ A）=2，b=1，即2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，
即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，即為2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
又△ABC的面積為$\sqrt{3}$，b=1，得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，解得c=4，
再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，即a²=1+16-2×1×4×$\frac{1}{2}$，
解得a=$\sqrt{13}$，
則$\frac{a}{sinA}=2R$，即$\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2R，即有$R=\frac{{\sqrt{39}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及正弦函數(shù)的周期及單調(diào)區(qū)間，考查正弦定理和余弦定理、面積公式的運(yùn)用，屬于中檔題．