Question

（1）判斷函數(shù)f（x）=x+

4

x

在x∈（0，+∞）上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論？
（2）猜想函數(shù)f(x)=x+

a

x

，(a＞0)在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的單調(diào)性？（只需寫出結(jié)論，不用證明）
（3）利用題（2）的結(jié)論，求使不等式x+

9

x

-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立時的實數(shù)m的取值范圍？

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=x+

4

x

在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)，再利用單調(diào)性的定義進行證明即可；
（2）由上及f（x）是奇函數(shù)，可猜想：f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上是增函數(shù)，f（x）在[-

a

，0)和(0，

a

]上是減函數(shù)   
（3）根據(jù)x+

9

x

-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立，可得x+

9

x

＜2m2-m在x∈[1，5]上恒成立   求出左邊函數(shù)的最小值即可．

解答：（1）解：函數(shù)f（x）=x+

4

x

在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)．…（1分）
證明：設(shè)任意x₁＜x₂∈（0，+∞），則f(x1)-f(x2)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

…（2分）
=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

                                    …（3分）
又設(shè)x₁＜x₂∈（0，2]，則f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）=x+

4

x

在（0，2]上是減函數(shù)                     …（4分）
又設(shè)x₁＜x₂∈[2，+∞），則f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）=x+

4

x

在[2，+∞）上是增函數(shù)                        …（5分）
（2）解：由上及f（x）是奇函數(shù)，可猜想：f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上是增函數(shù)，f（x）在[-

a

，0)和(0，

a

]上是減函數(shù)                   …（7分）
（3）解：∵x+

9

x

-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立
∴x+

9

x

＜2m2-m在x∈[1，5]上恒成立         …（8分）
由（2）中結(jié)論，可知函數(shù)t=x+

9

x

在x∈[1，5]上的最大值為10，
此時x=1                                    …（10分）
要使原命題成立，當且僅當2m²-m＞10
∴2m²-m-10＞0  解得m＜-2，或m＞

5

2

∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m＜-2，或m＞

5

2

}    …（12分）

點評：本題重點考查函數(shù)的單調(diào)性的判定與證明，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是利用單調(diào)性的定義，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題．