Question

（A）4-2矩陣與變換
已知二階矩陣M的特征值是λ₁=1，λ₂=2，屬于λ₁的一個特征向量是，屬于λ₂的一個特征向量是，點A對應的列向量是．
（Ⅰ）設a=me₁+ne₂，求實數(shù)m，n的值．
（Ⅱ）求點A在M⁵作用下的點的坐標．

（B）4-2極坐標與參數(shù)方程
已知直線l的極坐標方程為，曲線C的參數(shù)方程為，設P點是曲線C上的任意一點，求P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（A）：（Ⅰ）把兩個特征向量代入a=me₁+ne₂，讓其等于，得到關于m與n的二元一次方程組，求出方程組的解集即可得到m與n的值；
（Ⅱ）根據(jù)二階矩陣的線性變換，得到M⁵a=M⁵（2e₁+e₂）=2M⁵e₁+M⁵e₂=2λ₁⁵e₁+λ₂⁵e₂=2e₁+2⁵e₂，分別把兩個特征向量代入即可求出點A在M⁵作用下的點的坐標；
（B）：把極坐標方程利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，根據(jù)ρsinθ=y，ρcosθ=x，把極坐標方程化為普通方程得到直線l的方程，設出曲線C參數(shù)方程一點坐標，利用點到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，利用兩角和的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的值域即可求出d的最大值．
解答：（A）4-2矩陣與變換
解：（Ⅰ）由a=me₁+ne₂得：，即⇒．
（Ⅱ）二階矩陣M對應的變換是線性變換
所以M⁵a=M⁵（2e₁+e₂）=2M⁵e₁+M⁵e₂
=2λ₁⁵e₁+λ₂⁵e₂=2e₁+2⁵e₂
=
所以點A在M⁵作用下的點的坐標（-30，66）．
（B）4-2極坐標與參數(shù)方程
解：，得：，∴，即：
又曲線C的參數(shù)方程是，設點P坐標為（cosθ，3sinθ），
則點P到直線l的距離是=
所以，P到直線l的距離的最大值為．
點評：此題考查了二階矩陣的線性表示，會將簡單的極坐標方程化為普通方程，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡求值，是一道綜合題．