Question

18．在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=8，且a₁、a₅、a₇成等比數(shù)列，則S_n最大時，S_n=36．

Answer 1

分析 設(shè)公差d不為零的等差數(shù)列{a_n}，運用等比數(shù)列的中項性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得d=-1，再由等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法，注意n為正整數(shù)，即可得到最大值．

解答 解：設(shè)公差d不為零的等差數(shù)列{a_n}，
由a₁=8，且a₁、a₅、a₇成等比數(shù)列，
可得a₅²=a₁a₇，
即（8+4d）²=8（8+6d），
解得d=-1（0舍去），
則S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=8n-$\frac{1}{2}$n（n-1）
=-$\frac{1}{2}$（n-$\frac{17}{2}$）²+$\frac{289}{8}$，
由于n為正整數(shù)，可知n=8或9，
則S_n最大，且為36．
故答案為：36．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，以及等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，考查二次函數(shù)思想的運用：求最值，屬于中檔題．