Question

利用單位圓分別寫出滿足下列條件的角的集合：
（1）sinα＞-

1

2

；
（2）cosα＞

1

2

；
（3）tanα＞1．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)線

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)三角函數(shù)線的定義（1）過點(diǎn)（0，-

1

2

）作x軸的平行線交單位圓于P和P'，在[0，2π）內(nèi)找出當(dāng)當(dāng)-

π

6

＜x＜

7π

6

時(shí)，sinα＞-

1

2

成立，再由終邊相同的角的集合，即可得到所有滿足條件的角的集合．
（2）找出余弦值等于

1

2

的角度對應(yīng)的三角函數(shù)線，再利用終邊相同角的余弦求滿足條件的α值．
（3）過點(diǎn)（1，1）和原點(diǎn)作直線交單位圓于P和P′，找到對應(yīng)的正切值為1的三角函數(shù)線，再根據(jù)終邊相同角找出所有滿足條件的角．

解答： 解：（1）如圖所示，過點(diǎn)（0，-

1

2

）作x軸的平行線，交單位圓于P和P'，
則sin∠POx=sin∠P'Ox=-

1

2

∵在[0，2π）內(nèi)，滿足條件sinα=-

1

2

的∠P'Ox=

7π

6

，∠POx=

11π

6

觀察圖形可得：當(dāng)-

π

6

＜x＜

7π

6

時(shí)，sinα＞-

1

2

成立，

∴滿足條件sinα＞-

1

2

的角α的集合是{x|-

π

6

+2kπ＜x＜

7π

6

+2kπ，k∈Z}；
（2）∵在[0，2π）內(nèi)，cos

π

3

=cos

5π

3

=

1

2

，由余弦線可知，
滿足cosα＞

1

2

的終邊在如圖的弧內(nèi)，

∴cosα＞

1

2

的解集為{α|-

π

3

+2kπ＜α＜2kπ+

π

3

}；
（3）過點(diǎn)（1，1）和原點(diǎn)作直線交單位圓于P和P′，

則射線OP、OP′就是滿足tanα=1的角α的終邊
∵在[0，2π）內(nèi)，滿足條件的∠POx=π-

π

4

=，
∠P′Ox=

3π

4

∴滿足條件tanα＞1的角α的集合是{x|

π

4

+kπ＜x＜

π

2

+kπ或

3π

4

+π＜x＜

5π

4

+kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評：本題給出滿足條件的角，要求利用單位圓找出角α的集合．著重考查了單位圓中的三角函數(shù)線、終邊相同角的集合等知識，屬于基礎(chǔ)題．