Question

設(shè)f（x）是定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）的奇函數(shù)，且它在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)增．
（1）用定義證明：f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若mn＜0且m+n＜0，試判斷f（m）+f（n）的符號(hào)；
（3）若f（1）=0解關(guān)于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0．

Answer 1

解：（1）f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)，證明如下：
設(shè)b＞a＞0，則-b＜-a＜0，∵f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)增，
∴f（-b）＜f（-a），又 f（x）是奇函數(shù)，∴-f（b）＜-f（a），
即 f（b）＞f（a），∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵mn＜0且m+n＜0，不妨設(shè)m＜n，則 m＜0，n＞0，|m|＞|n|，
∴m＜-n＜0，再由f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)增得：f（m）＜f（-n）=-f（n），
∴f（m）+f（n）＜0．
（3）∵f（x）是定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）的奇函數(shù)，且它在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，
故f（x）在（0，+∞）上也單調(diào)遞增．
∵f（1）=0，∴f（-1）=0，由關(guān)于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0 可得，
log_a（1-x²）+1＞1，或-1＜log_a（1-x²）+1＜0．
∴l(xiāng)og_a（1-x²）＞0 ①，或-2＜log_a（1-x²）＜-1 ②．
當(dāng)a＞1時(shí)，
由①可得1-x²＞1，不等式無解．
由②可得 a^-2＜1-x² ＜a^-1，即 1-＜x²＜1-，
解得 ＜x＜，或 ＜x＜，
解集為（ ， ）∪（， ），
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，
由①得 0＜1-x²＜1，1＞x²＞0，-1＜x＜0 或 0＜x＜1，故解集為（-1，0）∪（0，1）．
由②得 ＜1-x² ＜，1-＞x²＞1-，不等式無解．
綜上，關(guān)于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0的解集是：
當(dāng)a＞1時(shí)，解集是 （ ， ）∪（， ）；
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，解集是（-1，0）∪（0，1）．
分析：（1）在（0，+∞）上任取2個(gè)數(shù)b和a，b＞a＞0，則-b＜-a＜0，由f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)增及f（x）是
奇函數(shù)推出f（b）＞f（a）．
（2）不妨設(shè)m＜n，則由題意知m＜-n＜0，再由f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)增得：f（m）＜f（-n）=-f（n），
移項(xiàng)可證的結(jié)論．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為log_a（1-x²）＞0=log_a1，分a＞1和1＞a＞0兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性
解不等式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，以及利用函數(shù)的單調(diào)性解對(duì)數(shù)型不等式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．