Question

11．已知函數(shù)f（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$，g（x）=-2ax+a+1，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，證明h（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=log₃g（x）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，化簡h（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+2x，并求其定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），再判斷h（x）+h（-x）=0即可；
（Ⅱ）化簡可得$\frac{x-1}{x+1}$=-2ax+a+1，且x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），從而可得$\frac{1}{a}$=（x+1）（x-$\frac{1}{2}$），從而解得．

解答 解：（Ⅰ）證明：當(dāng)a=-1時(shí)，
f（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$，g（x）=2x，
h（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+2x，
定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），
又∵h(yuǎn)（-x）=log₃$\frac{x+1}{x-1}$-2x，
∴h（x）+h（-x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+log₃$\frac{x+1}{x-1}$+2x-2x=0，
故h（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）∵f（x）=log₃g（x），
∴$\frac{x-1}{x+1}$=-2ax+a+1，且x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴（1-2x）a=$\frac{x-1}{x+1}$-1=-$\frac{2}{x+1}$，
顯然a≠0，
∴$\frac{1}{a}$=（x+1）（x-$\frac{1}{2}$），
利用圖象可知，當(dāng)$\frac{1}{a}$＞1時(shí)，
方程$\frac{1}{a}$=（x+1）（x-$\frac{1}{2}$）在（-∞，-1）∪（1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
解得0＜a＜1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷與數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．