如圖，已知A、B為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)和雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的公共頂點(diǎn)，P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且
OP
=λ
OQ
(λ∈R，λ＞1)．設(shè)AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4．
（1）求證：k1•k2=
b2
a2
；
（2）求k1+k2+k3+k4的值；
（3）設(shè)F1、F2分別為雙曲線和橢圓的右焦點(diǎn)，若PF1∥QF2，求k12+k22+k32+k42的值．
分析：（1）設(shè)P（x1，y1），則k1•k2=
y1
x1+a
•
y1
x1-a
=
y12
x12-a2
，再利用點(diǎn)P（x1，y1）在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1上，從而可證k1•k2=
b2
a2
；
（2）先計(jì)算k1+k2=
y1
x1+a
+
y1
x1-a
=
2x1y1
x12-a2
=
2b2
a2
•
x1
y1
，設(shè)Q（x2，y2）同理可得k3+k4=-
2b2
a2
•
x2
y2
，
OP
與
OQ
共線⇒
x1
y1
=
x2
y2
，從而可求得k1+k2+k3+k4的值；
（3）由（2）可求得∴（k1+k2）2=4
b4
a4
•
x12
y12
，（k3+k4）2=4
b4
a4
•
x22
y22
，PF1∥QF2⇒|OF1|=λ|OF2|⇒λ2=
a2+b2
a2-b2
⇒
x12
y12
=
a4
b4
，從而得到（k1+k2）2=4，（k3+k4）2=4；問題即可解決．
解答：（1）證明：設(shè)P（x1，y1），k1•k2=
y1
x1+a
•
y1
x1-a
=
y12
x12-a2
，且
x12
a2
-
y12
b2
=1，
∴x12-a2=
a2
b2
•y12，
∴k1•k2=
b2
a2
；
（2）解：∵k1+k2=
y1
x1+a
+
y1
x1-a
=
2x1 y1
x12-a2
=
2x1y1
a2
b2
• y12
=
2b2
a2
•
x1
y1
，
設(shè)Q（x2，y2），同理可得k3+k4=-
2b2
a2
•
x2
y2
，
又
OP
與
OQ
共線，
∴x1=λx2，y1=λy2，
∴
x1
y1
=
x2
y2
，
∴k1+k2+k3+k4=
2b2
a2
（
x1
y1
-
x2
y2
）=0；
（3）解：∵
OP
=λ
OQ
(λ∈R，λ＞1)，
∴
x2=
1
λ
x1
y2=
1
λ
y1
，又
x22
a2
+
y22
b2
=1，
∴
x12
a2
+
y12
b2
=λ2，又
x12
a2
-
y12
b2
=1，
∴
x12=
λ2+1
2
a2
y12=
λ2-1
2
b2
，
又∵若PF1∥QF2，
∴|OF1|=λ|OF2|，
∴λ2=
a2+b2
a2-b2
，
∴
x12
y12
=
λ2+1
λ2-1
•
a2
b2
=
a4
b4
，
∴（k1+k2）2=4
b4
a4
•
x12
y12
=4
b4
a4
•
a4
b4
=4；
同理（k3+k4）2=4；
又k1•k2=
b2
a2
，k3•k4=-
b2
a2
，
∴k12+k22+k32+k42=（k1+k2）2+（k3+k4）2-2（k1•k2+k3•k4）=4+4-0=8．
點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的綜合，著重考查整體代換與方程思想，培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）（1）設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦點(diǎn)F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點(diǎn)，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）與第（1）小題橢圓弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設(shè)過點(diǎn)F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn)，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，D，E是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，S△DEF2=1-
3
2
．若點(diǎn)M（x0，y0）在橢圓C上，則點(diǎn)N（
x0
a
，
y0
b
）稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”．直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•懷化二模）如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，k）（其中k為一正實(shí)數(shù)）到實(shí)數(shù)集R上的映射過程：區(qū)間（0，k）中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)線段AB上的點(diǎn)M，如圖1；將線段AB圍成一個(gè)離心率為
3
2
的橢圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合于橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)，如圖2；再將這個(gè)橢圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，已知此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3，在圖形變化過程中，圖1中線段AM的長度對應(yīng)于圖3中的橢圓弧ADM的長度．圖3中直線AM與直線y=-2交于點(diǎn)N（n，-2），則與實(shí)數(shù)m對應(yīng)的實(shí)數(shù)就是n，記作f（m）=n，

現(xiàn)給出下列5個(gè)命題①f(
k
2
)=6；②函數(shù)f（m）是奇函數(shù)；③函數(shù)f（m）在（0，k）上單調(diào)遞增；④函數(shù)f（m）的圖象關(guān)于點(diǎn)(
k
2
，0)對稱；⑤函數(shù)f(m)=3
3
時(shí)AM過橢圓的右焦點(diǎn)．其中所有的真命題是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆重慶市“名校聯(lián)盟”高二第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸

長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)M. 平行于OM的直線在軸上的截距為并交橢

圓C于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求的取值范圍；

y
 
（3）求證：直線MA、MB與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（1）設(shè)橢圓C1：數(shù)學(xué)公式與雙曲線C2：數(shù)學(xué)公式有相同的焦點(diǎn)F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點(diǎn)，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為數(shù)學(xué)公式．設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值；
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0數(shù)學(xué)公式）與第（1）小題橢圓弧E2：數(shù)學(xué)公式（數(shù)學(xué)公式）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設(shè)過點(diǎn)F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn)，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求數(shù)學(xué)公式的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案