Question

已知y=f（x）的定義域為R，且恒有等式2f（x）+f（-x）+2^x=0對任意的實數(shù)x成立．
（Ⅰ）試求f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論f（x）在R上的單調性，并用單調性定義予以證明．

Answer 1

（Ⅰ）∵2f（x）+f（-x）+2^x=0       ①對任意的實數(shù)x成立；
∴2f（-x）+f（x）+2^-x=0     ②；
①×2-②得：3f（x）+2×2^x-2^-x=0?f（x）=

1

3

（2^-x-2×2^x）；
（Ⅱ）函數(shù)在實數(shù)集上遞減．
證明：任取a＜b，
則f（a）-f（b）=

1

3

（2^-a-2×2^a）-

1

3

（2^-b-2×2^b）
=

1

3

[（2^-a-2^-b）-2×（2^a-2^b）]
=

1

3

[（

1

2a

-

1

2b

）-2×（2^a-2^b）]
=

1

3

（2^b-2^a）（

1

2a+b

+2）；
∵a＜b；
∴2^b-2^a＞0，2^a+b＞0；
∴（2^b-2^a）（

1

2a+b

+2）＞0；
∴f（a）-f（b）＞0?f（a）＞f（b）．
∴函數(shù)f（x）在R上遞減．