Question

（2011•許昌一模）已知函數(shù)f(x)=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式最后一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出；
（Ⅱ）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)的最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+1-cos（2x-

π

6

）=1+2sin（2x-

π

3

），
∵ω=2，∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，
∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤

1

2

，
∴當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時，f（x）_max=2，f（x）_min=-1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．