Question

7．已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當x∈[-1，0）時，f（x）=1-（$\frac{1}{2}$）^x，則f（2016）+f（2017）=（　�。�

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． 2006

Answer 1

分析 由函數(shù)的對稱性可得f（x）=f（2-x），再由奇偶性可得f（x）=-f（x-2），由此可推得函數(shù)的周期，根據(jù)周期性可把f（2016），f（2017）轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上求解．

解答 解：因為f（x）圖象關(guān)于x=1對稱，所以f（x）=f（2-x），
又f（x）為奇函數(shù)，所以f（2-x）=-f（x-2），即f（x）=-f（x-2），
則f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
故4為函數(shù)f（x）的一個周期，
從而f（2016）+f（2017）=f（0）+f（1），
而f（0）=1-1=0，f（1）=-f（-1）=-[1-2]=1，
故f（0）+f（1）=1，即f（2016）+f（2017）=1，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性及其應(yīng)用，考查函數(shù)求值，解決本題的關(guān)鍵是利用已知條件推導(dǎo)函數(shù)周期．