Question

11．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a，b，c，給出下列命題：
①若cosBcosC＞sinBsinC，則△ABC一定是鈍角三角形；
②若sin²A+sin²B=sin²C，則△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA=acosB，則△ABC為等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；
⑤若△ABC為銳角三角形，則sinA＜cosB．
其中正確命題的序號(hào)是①②③④．（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 ①利用兩角和差的余弦公式進(jìn)行化簡即可；
②利用正弦定理化角為邊可得a²+b²=c²，從而判定三角形的形狀
③利用正弦定理化邊為角整理可得sin（B-A）=0，即可得出結(jié)論
④先根據(jù)大角對大邊得到a＞b，再結(jié)合正弦定理化邊為角即可得到結(jié)論．
⑤利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡即可．

解答 解：①若若cosBcosC＞sinBsinC，則若cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）＞0，
即-cosA＞0，cosA＜0，則∠A為鈍角，故△ABC一定是鈍角三角形，正確．
②若sin²A+sin²B=sin²C，則由正弦定理得a²+b²=c²，則△ABC是直角三角形，正確，
③若bcosA=acosB，則由正弦定理得2rsinBcosA=2rsinAcosB，即sin（B-A）=0，則A=B．則△ABC為等腰三角形，正確，
④在△ABC中，若A＞B則a＞b，即sinA＞sinB成立，正確；
⑤若△ABC為銳角三角形，則0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，即0＜π-A-B＜$\frac{π}{2}$，
即A+B＞$\frac{π}{2}$，∴B＞$\frac{π}{2}$-A，
∴0＜$\frac{π}{2}$-A＜B＜$\frac{π}{2}$，即cos（$\frac{π}{2}$-A）＞cosB，
∴0＜cosB＜sinA＜1，故⑤錯(cuò)誤，
故正確命題的是：①②③④，
故答案為：①②③④

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及正弦定理以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，兩角和差的余弦公式，考查學(xué)生的推理能力．