Question

16．在扇形OAB中，∠AOB=120°，P是$\widehat{AB}$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值是2．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{OQ}$=a$\overrightarrow{OP}$，則$\frac{1}{2}$≤a≤1，從而可得$\overrightarrow{OQ}$=a$\overrightarrow{OP}$=ax$\overrightarrow{OA}$+ay$\overrightarrow{OB}$，從而可得ax+ay=1，從而利用基本不等式求最小值即可．

解答 解：如圖，設(shè)$\overrightarrow{OQ}$=a$\overrightarrow{OP}$，則$\frac{1}{2}$≤a≤1，
∵$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OQ}$=a$\overrightarrow{OP}$=ax$\overrightarrow{OA}$+ay$\overrightarrow{OB}$，
∵A，Q，B三點(diǎn)共線，
∴ax+ay=1，
故$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{ax+ay}{x}$+$\frac{ax+ay}{y}$
=a（2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$）
≥4a，
（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{y}{x}$=$\frac{x}{y}$，即x=y=$\frac{1}{2}$時(shí)，等號(hào)成立），
此時(shí)a=$\frac{1}{2}$；4a=2；
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的應(yīng)用及平面向量的應(yīng)用．