Question

10．已知F是橢圓5x²+9y²=45的左焦點(diǎn)，P、Q是橢圓上的點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{PF}$=$λ\overrightarrow{FQ}$，直線PQ的傾斜角為60°，則λ的值為2或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c和左焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線PQ的方程，聯(lián)立橢圓方程，解得P，Q的橫坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示，即可得到所求值．

解答 解：橢圓5x²+9y²=45，即為
$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
即有a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2，
左焦點(diǎn)為F（-2，0），
直線PQ：y=$\sqrt{3}$（x+2），
代入橢圓方程，可得32x²+108x+63=0，
可得x=-$\frac{3}{4}$或-$\frac{21}{8}$．
若x_P=-$\frac{3}{4}$，x_Q=-$\frac{21}{8}$，即有λ=$\frac{-2-（-\frac{3}{4}）}{-\frac{21}{8}+2}$=2
若x_Q=-$\frac{3}{4}$，x_P=-$\frac{21}{8}$，即有λ=$\frac{-2-（-\frac{21}{8}）}{-\frac{3}{4}+2}$=$\frac{1}{2}$．
則有λ=2或$\frac{1}{2}$．
故答案為：2或$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓聯(lián)立，解方程求交點(diǎn)，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．