Question

6．在平面直角坐標系xOy中，設(shè)定點A（a，-a），P是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x≥1）圖象上一動點，若點P，A之間的最短距離為$\sqrt{10}$，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為-2或2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)點P（x，$\frac{1}{x}$），利用兩點間的距離公式可得|PA|，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的值．

解答 解：設(shè)點P（x，$\frac{1}{x}$），則|PA|=$\sqrt{（x-a）^{2}+（\frac{1}{x}+a）^{2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2a（x-\frac{1}{x}）+2{a}^{2}}$=$\sqrt{（x-\frac{1}{x}）^{2}-2a（x-\frac{1}{x}）^{2}+2{a}^{2}+2}$，
令t=x-$\frac{1}{x}$，∵x≥1，∴t≥0，
令g（t）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2，
①當a≤0時，g（t）在[0，+∞）遞增，
t=0時，g（t）取得最小值g（0）=2+2a²=（$\sqrt{10}$）²，解得a=-2（2舍去）；
②當a＞0時，g（t）在區(qū)間[0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，
∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a²+2，
∴a²+2=（$\sqrt{10}$）²，解得a=2$\sqrt{2}$（-2$\sqrt{2}$舍去）．
綜上可知：a=-2或2$\sqrt{2}$．
故答案為-2或2$\sqrt{2}$．

點評 本題綜合考查了兩點間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．