Question

12．某電視臺組織一科普競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一，二，三個(gè)問題分別得100分，100分，200分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲同學(xué)答對第一，二，三個(gè)問題的槪率分別為$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{5}$且各題答對與否之問無影響．求：
（Ⅰ）甲同學(xué)得300分的槪率；
（Ⅱ）記甲同學(xué)競賽得分為ξ，求ξ的分布列；
（Ⅲ）如果每得100分，即可獲得1000元公益基金．依據(jù)甲同學(xué)得分的平均值預(yù)計(jì)其所得的得的公益基金數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲同學(xué)得300分，有兩種情況，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求解即可．
（Ⅱ）記甲同學(xué)競賽得分為ξ，求出可能情況以及概率，即可得到ξ的分布列；
（Ⅲ）求出甲同學(xué)得分的平均值預(yù)計(jì)即期望，然后求解所得的得的公益基金數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）P（ξ=300）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{3}{5}=\frac{21}{100}$…（3分）
（Ⅱ）甲同學(xué)競賽得分為ξ，ξ可能情況：0，100，200，300，400．
P（ξ=0）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{5}$=$\frac{1}{50}$，
P（ξ=100）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{5}$=$\frac{7}{50}$，
P（ξ=200）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{5}$=$\frac{27}{100}$，
P（ξ=300）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{3}{5}=\frac{21}{100}$，
P（ξ=400）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{3}{5}=\frac{9}{25}$．
ξ的分布列如下：…（9分）

ξ	0	100	200	300	400
P	$\frac{1}{50}$	$\frac{7}{50}$	$\frac{27}{100}$	$\frac{21}{100}$	$\frac{9}{25}$

（Ⅲ）由分布列可知E（ξ）=$0×\frac{1}{50}+100×\frac{7}{50}+200×\frac{27}{100}+300×\frac{21}{100}+400×\frac{9}{25}$=275，
所以公益基金數(shù)為2750元…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題．