Question

已知正方形ABCD的邊長為2，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，求滿足|PH|＜的概率；
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，記這兩個(gè)點(diǎn)之間的 距離為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，分別求出正方形的面積和滿足|PH|的正方形內(nèi)部的點(diǎn)P的集合”的面積即可得出；
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，共可得到線段．這些線段的長度ξ的所有可能取值分別為，找出相應(yīng)長度的線段條數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．
解答：解：（1）如圖所示，正方形的面積S_{正方形ABCD}=2×2=4．
設(shè)“滿足|PH|的正方形內(nèi)部的點(diǎn)P的集合”為事件M，
則S（M）=S_△DGH+S_△AEH+S_扇形EGH==．
∴P（M）==．
故滿足|PH|＜的概率為．
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，共可得到線段．
其中長度等于1的有8條：AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；長度等于的由4條：EF、FG、GH、HE；長度等于2的有6條：AB、BC、CD、DA、EG、
FH；長度等于的有8條，AF、AG、BG、BH、CE、CH、DE、DF；長度等于的由2條AC、BD．
∴ξ的所有可能的取值為1，，2，，．
則P（ξ=1）==，P（ξ=）=，P（ξ=2）=，P（ξ=）==，P（ξ=）==．
隨機(jī)變量ξ的分布列為

Eξ==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用古典概型的概率計(jì)算公式求幾何概率及其分布列和數(shù)學(xué)期望，正確求出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的面積和長度以及要求的事件的區(qū)域的面積和長度是解題的關(guān)鍵．