Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的函數(shù)，若對(duì)于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，有f（x）＞0
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0
令y=-x，則f（x-x）=f（0）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)．（4分）
（2）函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．（6分）
設(shè)x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x則x₂-x₁＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）
又∵x＞0，f（x）＞0∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故由函數(shù)單調(diào)性定義可知，函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．（10分）
（3）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立．
則必須（1-2a）m+2＞1，?a∈[-1，1]恒成立；
即-2ma+m+1＞0，?a∈[-1，1]恒成立
令g（a）=-2ma+m+1必須

g(-1)＞0 g(1)＞0

即

-2m(-1)+m+1＞0 -2m+m+1＞0

解得-

1

3

＜m＜1
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為-

1

3

＜m＜1．（14分）