Question

直線l經(jīng)過拋物線y²=-

4

3

x的焦點F，且與拋物線交與A，B兩點，證明以A，B為直徑的圓與拋物線的焦點相切．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線方程求出焦點坐標，寫出直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求得AB兩點的縱坐標的和，轉(zhuǎn)化為橫坐標的和，然后求出AB中點到準線的距離，證明AB中點到準線的距離等于AB長度的一半后可得結(jié)論．

解答： 證明：由拋物線y²=-

4

3

x，得F（-

1

3

，0），
設(shè)直線l的方程為x=ty-

1

3

，
聯(lián)立

y2=- 4 3 x x=ty- 1 3

，得9y²+12ty-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=-

4

3

t，
∴x1+x2=t(y1+y2)-

2

3

=-

4

3

t2-

2

3

，
則AB中點橫坐標為

x1+x2

2

=-

2

3

t2-

1

3

．
AB中點到拋物線準線的距離為

1

3

-(-

2

3

t2-

1

3

)=

2

3

t2+

2

3

．
而

1

2

|AB|=

1

2

[

2

3

-(x1+x2)]=

1

3

-

1

2

(-

4

3

t2-

2

3

)=

2

3

t2+

2

3

．
∴以A，B為直徑的圓與拋物線的焦點相切．

點評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了拋物線的焦點弦公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．