Question

（2013•瀘州一模）如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B、P在單位圓上，且B(-

3

5

，

4

5

)，∠AOB=α．
（Ⅰ）求

4cosα-2sinα

5cosα+3sinα

的值；
（Ⅱ）設(shè)平行四邊形OAQP的面積為S，∠AOP=θ（0＜θ＜π），f（θ）=（cosθ+S）S，求f（θ）的最大值及此時(shí)θ的值．

Answer 1

分析：（I）由∠AOB=α可得α的終邊與單位圓交于點(diǎn)B(-

3

5

，

4

5

) ，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可求出α的正切值，進(jìn)而利用弦化切技巧可求出

4cosα-2sinα

5cosα+3sinα

的值；
（Ⅱ）由四邊形OAQP為平行四邊形可得S_OAQP=2S_△AOP=sinθ，進(jìn)而可得f（θ）=

2

2

sin（2θ-

π

4

）+

1

2

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的最大值．

解答：解：（I）∵∠AOB=α
∴α的終邊與單位圓交于點(diǎn)B(-

3

5

，

4

5

) ，
∴tanα=

4 5

- 3 5

=-

4

3

∴

4cosα-2sinα

5cosα+3sinα

=

4-2tanα

5+3tanα

=

4+ 8 3

5-4

=

20

3

（II）∵四邊形OAQP為平行四邊形
∴S_OAQP=2S_△AOP=sinθ
∴f（θ）=（cosθ+S）S=sinθ•cosθ+cos²θ=

1

2

sin2θ-

1

2

cosθ+

1

2

=

2

2

sin（2θ-

π

4

）+

1

2

∵0＜θ＜π
∴當(dāng)θ=

3π

8

時(shí)，f（θ）取最大值

2

2

+

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的最值，熟練掌握三角函數(shù)的定義及性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．