Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+bx²（a∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=0．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）已知f（x）≤kx在（0，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞

1

2

（n≥2，n∈N₊）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,數(shù)列的求和

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由f'（1）=-1，f（1）=-1寫出a，b的方程，求出a，b的值；
（2）應(yīng)用分離參數(shù)法，得到k≥

lnx-x2

x

在（0，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)t（x）=

lnx-x2

x

，求出在（0，+∞）的最大值，只要k不小于最大值即可；
（3）由（2）知當k=-1時，lnx≤x²-x在（0，+∞）恒成立，僅在x=1取等號，則

1

lnn

＞

1

n2-n

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，再應(yīng)用累加法，即可證得．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx+bx²在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=0
∴f′(x)=

a

x

+2bx，f'（1）=-1，f（1）=-1
即

a+2b=-1 0+b=-1

∴a=1，b=-1；
（2）∵f（x）=lnx-x²≤kx在（0，+∞）恒成立，
∴k≥

lnx-x2

x

，
設(shè)t(x)=

lnx-x2

x

=

lnx

x

-x
∵t′(x)=

1-1nx-x2

x2

∴x∈（0，1）時t'（x）＞0；x∈（1，+∞）時t'（x）＜0；
即t（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減；
∴t（x）≤t（x）_max=t（1）=-1
∴k≥-1；
（3）證明：由（2）知當k=-1時f（x）=lnx-x²≤-x在（0，+∞）恒成立，
∴l(xiāng)nx≤x²-x在（0，+∞）恒成立，僅在x=1取等號，
∴n≥2，n∈N₊時1nn＜n²-n恒成立，
∴

1

lnn

＞

1

n2-n

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴當n≥2，n∈N₊時，

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

≥

1

2

∴

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞

1

2

．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查轉(zhuǎn)化思想，同時考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，是一道綜合題．