Question

3．在銳角△ABC中，AB=2，BC=3，△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，則AC的長為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由題意及三角形面積公式可得：$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$×2×3×sinB，解得sinB，又B為銳角，可求cosB，由余弦定理即可求得AC的值．

解答 解：∵AB=2，BC=3，△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴由三角形面積公式可得：$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$×2×3×sinB，解得：sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又B為銳角，可得：cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理可得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•AC•cosB}$=$\sqrt{4+9-2×2×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．