如圖所示，已知過點A(0，1)且方向向量為a＝(1，k)的直線l與⊙C＝(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N兩點．

(1)

求實數(shù)k的取值范圍

(2)

求證：·＝定值

(3)

若O為坐標原點，且·＝12，求k的值．

答案：
解析：

(1)

　　解析：直線l過點(0，1)，且方向向量a=(1，k)，∴直線l的方程為y=kx＋1．將其代入⊙C方程，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7=0()．

　　由△=[－4(1＋k)]2－4·(1＋k2)·7＞0，得＜k＜．

(2)

由平面幾何知識，若過A的圓C的一條切線為AT(T為切點)，則·=｜｜·｜｜·=｜AM｜·｜AN｜=｜AT｜2=7，即為定值．

(3)

　　設(shè)M(x1，y1)、N(x2，y2)，則由()得　

　　∴·=x1x2＋y1y2

　　　　　　　 =x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)

　　　　　　　 =(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

　　　　　　　 =(1＋k2)·＋k·＋1

　　　　　　　 =＋8．

　　∴=4，得k=1，由(1)知k=1符合題意，∴k=1．

　　點評：本題根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示將題目中的·轉(zhuǎn)化成含點M、N坐標的數(shù)學(xué)式子，并利用、同向共線，其夾角為，將·轉(zhuǎn)化為｜AM｜·｜AN｜，實現(xiàn)了向量條件向解析幾何條件的轉(zhuǎn)化．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖所示，已知以點A（-1，2）為圓心的圓與直線l1：x+2y+7=0相切．過點B（-2，0）的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P．
（1）求圓A的方程；
（2）當|MN|=2
19
時，求直線l的方程．

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（1）求圓A的方程；
（2）當時，求直線l的方程．

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（1）求圓A的方程；
（2）當時，求直線l的方程．

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