Question

傾斜角為α的直線l過(guò)點(diǎn)P（8，2），直線l和曲線C：

x=4 2 cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）交于不同的兩點(diǎn)M₁、M₂．
（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，并寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程；
（2）求|PM₁|•|PM₂|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）消去參數(shù)，把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；由直線l的傾斜角和過(guò)點(diǎn)P，寫(xiě)出參數(shù)方程；
（2）把l的參數(shù)方程為代入曲線C的方程，由參數(shù)的幾何意義得|PM₁|•|PM₂|=t₁•t₂，求出取值范圍即可．

解答： 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程是

x=4 2 cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），
∴化為普通方程是

x2

32

+

y2

4

=1；
又∵直線l的傾斜角為α，且過(guò)點(diǎn)P（8，2），
∴l(xiāng)的參數(shù)方程為

x=8+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)）；
（2）將l的參數(shù)方程為代入曲線C的方程得：
（8+tcosα）²+8（2+tsinα）²=32，
整理得：（8sin²α+cos²α）t²+（16cosα+32sinα）t+64=0，
∴|PM₁|•|PM₂|=t₁•t₂=

64

1+7sin2α

≤64；
又△=（16cosα+32sinα）²-4（8sin²α+cos²α）×64≥0，
∴（cosα+2sinα）²-（8sin²α+cos²α）≥0，
∴sinαcosα≥2sin²α；
又sinα≥0，
∴

cosα

sinα

≥2，
即

1-sin2α

sin2α

≥4，
∴

1

sin2α

≥5，
即sin²α≤

1

5

；
∴

64

1+7sin2α

≥

80

3

，
∴|PM₁|•|PM₂|的取值范圍是[

80

3

，64]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)消去參數(shù)，化參數(shù)方程為普通方程，并應(yīng)用參數(shù)的幾何意義進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題目．