Question

已知函數(shù)f（x）=

px+3

x2+2

（其中p為常數(shù)，x∈[-2，2]）為偶函數(shù)．
（1）求p的值； （2）如果f（1-m）＜f（2m），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，f（-x）=f（x），即

-px+3

x2+2

=

px+3

x2+2

，解出即可．
（2）由（1）可得：f（x）=

3

x2+2

，可得函數(shù)f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，在[-2，0]上為增函數(shù)．由于f（1-m）＜f（2m），可得2≥|1-m|＞|2m|≥0，解出即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即

-px+3

x2+2

=

px+3

x2+2

，化為px=0，解得p=0．
（2）由（1）可得：f（x）=

3

x2+2

，
∴函數(shù)f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，在[-2，0]上為增函數(shù)．
∵f（1-m）＜f（2m），
∴2≥|1-m|＞|2m|≥0，
解得-1＜m＜

1

3

．
∴實數(shù)m的取值范圍是(-1，

1

3

)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．